Question

【题目】边长为2 的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（点P与A、C不重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP，QP与BC交于点E，QP延长线与AD（或AD延长线）交于点F．

（1）连接CQ，证明：CQ=AP；
（2）设AP=x，CE=y，试写出y关于x的函数关系式，并求当x为何值时，CE= BC；
（3）猜想PF与EQ的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图1，

∵线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BQ，

∴BP=BQ，∠PBQ=90°．

∵四边形ABCD是正方形，

∴BA=BC，∠ABC=90°．

∴∠ABC=∠PBQ．

∴∠ABC﹣∠PBC=∠PBQ﹣∠PBC，即∠ABP=∠CBQ．

在△BAP和△BCQ中，

∵ ，

∴△BAP≌△BCQ（SAS）．

∴CQ=AP

（2）

解：如图1，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAC= ∠BAD=45°，∠BCA= ∠BCD=45°，

∴∠APB+∠ABP=180°﹣45°=135°，

∵DC=AD=2 ，

由勾股定理得：AC= =4，

∵AP=x，

∴PC=4﹣x，

∵△PBQ是等腰直角三角形，

∴∠BPQ=45°，

∴∠APB+∠CPQ=180°﹣45°=135°，

∴∠CPQ=∠ABP，

∵∠BAC=∠ACB=45°，

∴△APB∽△CEP，

∴ ，

∴ ，

∴y= x（4﹣x）=﹣ x（0＜x＜4），

由CE= BC= = ，

∴y=﹣ x= ，

x2﹣4x=3=0，

（x﹣3）（x﹣1）=0，

x=3或1，

∴当x=3或1时，CE= BC；

（3）

解：结论：PF=EQ，理由是：

如图，当F在边AD上时，过P作PG⊥FQ，交AB于G，则∠GPF=90°，

∵∠BPQ=45°，

∴∠GPB=45°，

∴∠GPB=∠PQB=45°，

∵PB=BQ，∠ABP=∠CBQ，

∴△PGB≌△QEB，

∴EQ=PG，

∵∠BAD=90°，

∴F、A、G、P四点共圆，

连接FG，

∴∠FGP=∠FAP=45°，

∴△FPG是等腰直角三角形，

∴PF=PG，

∴PF=EQ．

当F在AD的延长线上时，

如图，同理可得：PF=PG=EQ．

【解析】（1）证出∠ABP=∠CBQ，由SAS证明△BAP≌△BCQ可得结论；（2）如图1证明△APB∽△CEP，列比例式可得y与x的关系式，根据CE= BC计算CE的长，即y的长，代入关系式解方程可得x的值；（3）如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△PGB≌△QEB，得EQ=PG，由F、A、G、P四点共圆，得∠FGP=∠FAP=45°，所以△FPG是等腰直角三角形，可得结论．
如图4，当F在AD的延长线上时，同理可得结论．
【考点精析】关于本题考查的全等三角形的性质和等腰三角形的性质，需要了解全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等；等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）才能得出正确答案．