Question

【题目】如图，是⊙的直径，点是⊙上一点，与过点的切线垂直，垂足为点，直线与的延长线相交于点，弦平分∠，交于点，连接．

（1）求证：平分∠；

（2）求证：PC=PF；

（3）若，AB=14，求线段的长．

Answer 1

【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析；（2）24．

【解析】

试题分析：（1）根据切线以及AD⊥PD得出OC∥AD，得到∠ACO=∠DAC，然后根据OC=OA得出∠ACO=∠CAO，从而得到∠DAC=∠CAO，即角平分线；（2）根据题意得出∠PFC=∠PCF，得出PC=PF；（3）根据题意得出△PAC∽△PCB，根据tan∠ABC可得，设PC=4k，PB=3k，根据Rt△POC得出PO=3k+7，根据AB的长度得出OC的长度，根据得出k的值，然后求出PC的长度．

试题解析：（1）∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥PD

又AD⊥PD，∴OC∥AD．∴∠ACO＝∠DAC．

又OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAO，

∴∠DAC＝∠CAO，即AC平分∠DAB．

（2）∵AD⊥PD，∴∠DAC＋∠ACD＝90°．

又AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．

∴∠PCB＋∠ACD＝90°，

∴∠DAC＝∠PCB．

又∠DAC＝∠CAO，∴∠CAO＝∠PCB．

∵CE平分∠ACB，∴∠ACF＝∠BCF，

∴∠CAO＋∠ACF＝∠PCB＋∠BCF，

∴∠PFC＝∠PCF，

∴PC＝PF

（3）∵∠PAC＝∠PCB，∠P＝∠P，

∴△PAC∽△PCB，

∴．

又tan∠ABC＝，

∴，

∴

设，，则在Rt△POC中，，

∵AB=14，

∴，

∵，

∴，

∴k＝6 （k＝0不合题意，舍去）．

∴．