Question

【题目】在△ABC中，AB=AC，BG⊥AC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．

(1)、如图1，若D是BC边上的中点，∠A=45°，DF=3，求AC的长；

(2)、如图2，D是线段BC上的任意一点，求证：BG=DE+DF；

(3)、在图3，D是线段BC延长线上的点，猜想DE、DF与BG的关系，并证明．

Answer 1

【答案】(1)、AC=6；(2)、证明过程见解析；(3)、DE﹣DF=BG；证明过程见解析.

【解析】

试题分析：(1)、连结AD，根据△ABC的面积=△ABD的面积+△ACD的面积得出BG=DE+DF，根据角平分线的性质得出BG=6，根据等腰直角三角形的性质得出AC的长度；(2)、连结AD，根据△ABC的面积=△ABD的面积+△ACD的面积得出线段之间的关系；(3)、连结AD，根据△ABC的面积=△ABD的面积+△ACD的面积得出线段之间的关系.

试题解析：(1)、如图1，连结AD．则△ABC的面积=△ABD的面积+△ACD的面积，

即ABDE+ACDF=ACBG， ∵AB=AC，∴DE+DF=BG， ∵D是BC边上的中点，∴AD平分∠BAC，

∴DE=DF=3，∴BG=6， ∵∠A=45°，∴△AGB是等腰直角三角形， ∴AB=BG=6，∴AC=6；

(2)、如图2，连结AD．则△ABC的面积=△ABD的面积+△ACD的面积，

即ABDE+ACDF=ACBG， ∵AB=AC，∴DE+DF=BG；

(3)、DE﹣DF=BG，

如图3，连接AD，则△ABC的面积=△ABD的面积﹣△ACD的面积， 即ABDE﹣ACDF=ACBG，

∵AB=AC，∴DE﹣DF=BG．