Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．

（1）求证：四边形AMDN是平行四边形．
（2）当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴ND∥AM，

∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，

∵点E是AD中点，

∴DE=AE，

在△NDE和△MAE中，

，

∴△NDE≌△MAE（AAS），

∴ND=MA，

∴四边形AMDN是平行四边形

（2）AM=1．

理由如下：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=AB=2，

∵平行四边形AMDN是矩形，

∴DM⊥AB，

即∠DMA=90°，

∵∠DAB=60°，

∴∠ADM=30°，

∴AM= AD=1

【解析】（1）根据菱形的性质可得ND∥AM，再根据两直线平行，内错角相等可得∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，根据中点的定义求出DE=AE，然后利用“角角边”证明△NDE和△MAE全等，根据全等三角形对应边相等得到ND=MA，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；（2）根据矩形的性质得到DM⊥AB，再求出∠ADM=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．