Question

【题目】如图，在ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线EF与AB、CD的延长线分别交于点E、F．

（1）求证：△BOE≌△DOF
（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是怎样的特殊四边形？证明你的结论

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴OB=OD，AE∥CF，

∴∠E=∠F，

在△BOE和△DOF中，

，

∴△BOE≌△DOF（AAS）

（2）

解：当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形；理由如下：如图所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，

又∵△BOE≌△DOF，

∴OE=OF，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵EF⊥AC，

∴四边形AECF是菱形．

【解析】（1）由矩形的性质得出OB=OD，AE∥CF，得出∠E=∠F，由AAS即可证明△BOE≌△DOF；
（2）先由对角线互相平分证明四边形AECF是平行四边形，再由对角线互相垂直，即可得出结论．
【考点精析】认真审题，首先需要了解平行四边形的性质(平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分)．