Question

【题目】阅读以下内容，并回答问题：

若一个三角形的两边平方和等于第三边平方的两倍，我们称这样的三角形为奇异三角形．

（1）命题“等边三角形一定是奇异三角形”是 命题（填“真”或“假”）；

（2）在△ABC中，已知∠C=90°，△ABC的内角∠A、∠B、∠C所对边的长分别为a、b、c，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；

（3）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（点C与点A、B不重合），D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若存在点E，使AE=AD，CB=CE．求证：△ACE是奇异三角形．

Answer 1

【答案】（1）真（2）（3）证明见解析

【解析】

试题分析：（1）直接根据奇异三角形的定义直接得出结论；

（2）先根据勾股定理得出a2+b2=c2，再由Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a可知a2+c2=2b2，把a当作已知条件表示出b，c的值，进而可得出结论；

（3）连接BD，根据圆周角定理得出∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ACB与在Rt△ADB中可得出AC2+BC2=AB2，AD2+BD2=AB2，根据点D是半圆的中点，得出．故可得出AD=BD．通过等量代换可得出AC2+CB2=2AD2．再由CB=CE，AE=AD可得出AC2+CE2=2AE2故可得出结论．

试题解析：（1）∵若一个三角形的两边平方和等于第三边平方的两倍，我们称这样的三角形为奇异三角形，

∴等边三角形一定是奇异三角形是真命题．

故答案为：真；

（2）∵∠C=90°，

∴a2+b2=c2①．

∵Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，

∴a2+c2=2b2②．

由①②得：b=a，c=a．

∴a：b：c=．

（3）连接BD．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=∠ADB=90°．

在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2，

在Rt△ADB中，AD2+BD2=AB2，

∵点D是半圆的中点，

∴．

∴AD=BD．

∴AB2=AD2+BD2=2AD2．

∴AC2+CB2=2AD2．

又∵CB=CE，AE=AD，

∴AC2+CE2=2AE2．

∴△ACE是奇异三角形．