Question

【题目】如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，点M在PB上，且OM∥AP，MN⊥AP，垂足为N.

（1）求证：OM = AN；

（2）若⊙O的半径R = 3，PA = 9，求OM的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）5.

【解析】试题分析：（1）连接OA，由切线的性质可知OA⊥AP，再由MN⊥AP可知四边形ANMO是矩形，故可得出结论；

（2）连接OB，则OB⊥BP由OA=MN，OA=OB，OM∥AP．可知OB=MN，∠OMB=∠NPM．故可得出Rt△OBM≌△MNP，OM=MP．设OM=x，则NP=9-x，在Rt△MNP利用勾股定理即可求出x的值，进而得出结论．

试题解析：（1）如图，连接OA，则OA⊥AP，

∵MN⊥AP，

∴MN∥OA，

∵OM∥AP，

∴四边形ANMO是矩形，

∴OM=AN；

（2）解：连接OB，则OB⊥BP

∵OA=MN，OA=OB，OM∥AP．

∴OB=MN，∠OMB=∠NPM．

∴Rt△OBM≌Rt△MNP，

∴OM=MP．

设OM=x，则NP=9-x，

在Rt△MNP中，有x2=32+（9-x）2

∴x=5，即OM=5．