【题目】如图，线段AB=10，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿线段AB向终点B运动，同时，另一个动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度在线段AB上来回运动（从点B向点A运动，到达点A后，立即原速返回，再次到达B点后立即调头向点A运动．） 当点P到达B点时，P，Q两点都停止运动．设点P的运动时间为x．

（1）当x=3时，线段PQ的长为 ．

（2）当P，Q两点第一次重合时，求线段BQ的长．

（3）是否存在某一时刻，使点Q恰好落在线段AP的中点上？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．

参考答案：

【答案】（1）2；（2）7.5；（3）当x=或x=4或x=时，点Q恰好落在线段AP的中点上．

【解析】试题分析：（1）结合图形，表示出AP、AQ的长，可得PQ；

（2）当P，Q两点第一次重合时，点P运动路程+点Q运动路程=AB的长，列方程可求得；

（3）点Q落在线段AP的中点上有以下三种情况：①点Q从点B出发未到点A；②点Q到达点A后，从A到B；

③点Q第一次返回到B后，从B到A，根据AP=2AQ列方程可得．

解：（1）根据题意，当x=3时，P、Q位置如下图所示：

此时：AP=3，BQ=3×3=9，AQ=AB﹣BQ=10﹣9=1，

∴PQ=AP﹣AQ=2；

（2）设x秒后P，Q第一次重合，得：x+3x="10"

解得：x=2.5，

∴BQ=3x=7.5；

（3）设x秒后，点Q恰好落在线段AP的中点上，根据题意，

①当点Q从点B出发未到点A时，即0＜x＜时，有

x=2（10﹣3x），

解得；

②当点Q到达点A后，从A到B时，即＜x＜时，有

x=2（3x﹣10），

解得 x=4；

③当点Q第一次返回到B后，从B到A时，即＜x＜10时，有

x=2（30﹣3x），

解得；

综上所述：当x=或x=4或x=时，点Q恰好落在线段AP的中点上．

故答案为：（1）2．

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