Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．

求证：
（1）FC＝AD
（2）AB＝BC＋AD．

Answer 1

【答案】
（1）

解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF，∵E是CD的中点，∴DE＝EF，∵在△ADE与△FCE中，∠ADC＝∠ECF，DE＝EF，∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴FC＝AD；

（2）

解：∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF，又∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF，∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD．

【解析】（1）根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答；（2）根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解线段垂直平分线的性质的相关知识，掌握垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线；线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．