【题目】在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点A(﹣1,1),将A点向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,得到点B,直线y=2x+m经过点B,与y轴交于点C.
(1)求点B,C的坐标;
(2)求二次函数图象的对称轴;
(3)若二次函数y=ax2﹣2ax+c(﹣1<x<2)的图象与射线CB恰有一个公共点,结合函数图象,直接写出a的取值范围.
【答案】(1)B(2,3),C(0,﹣1);(2);(3)
或
【解析】
(1)由平移的性质可求点B坐标,代入解析式可求m的值,从而可求得直线解析式,即可求点C坐标;
(2)根据二次函数的对称轴为x=﹣,即可求解;
(3)结合图形,分类讨论,分a>0时和a<0时,即可求解.
解:(1)∵点A(﹣1,1)向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,得到点B,
∴点B(2,3),
∵直线y=2x+m经过点B,
∴3=4+m,
∴m=﹣1,
∴直线解析式为:y=2x﹣1,
∵直线y=2x+m与y轴交于点C,
∴点C(0,﹣1);
(2)二次函数y=ax2﹣2ax+c的对称轴为直线x=﹣=1;
(3)∵二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点A(﹣1,1),
∴1=a+2a+c,
∴c=1﹣3a,
∴抛物线解析式为:y=ax2﹣2ax+1﹣3a,
∴顶点坐标为(1,1﹣4a),
当a>0时,如图所示,
∴当1﹣4a<1时,二次函数y=ax2﹣2ax+c(﹣1<x<2)的图象与射线CB恰有一个公共点,
∴a>0;
当a<0时,如图所示,
∴4a﹣4a+1﹣3a>3,
∴a<﹣,
综上所述:当a>0或a<﹣时,二次函数y=ax2﹣2ax+c(﹣1<x<2)的图象与射线CB恰有一个公共点.
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【题目】如图,在的边
上取一点
,以
为圆心,
为半径画⊙O,⊙O与边
相切于点
,
,连接
交⊙O于点
,连接
,并延长交线段
于点
.
(1)求证:是⊙O的切线;
(2)若,
,求⊙O的半径;
(3)若是
的中点,试探究
与
的数量关系并说明理由.
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【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点A(-1,0),B(4,0),与y轴交于点C,抛物线的顶点为D,其对称轴与线段BC交于点E.垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F,动直线l在抛物线的对称轴的右侧(不含对称轴)沿x轴正方向移动到B点.
(1)求出二次函数y=ax2+bx+4和BC所在直线的表达式;
(2)在动直线l移动的过程中,试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标;
(3)连接CP,CD,在移动直线l移动的过程中,抛物线上是否存在点P,使得以点P,C,F为顶点的三角形与DCE相似,如果存在,求出点P的坐标,如果不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知一次函数
的图象与反比例函数
的图象相交于A,B两点.且点A的坐标为
.
(1)求该一次函数的解析式;
(2)求的面积.
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【题目】如图,四边形ABCD是平行四边形,AD=BD,过点C作CE∥BD,交AD的延长线于点E.
(1)求证:四边形BDEC是菱形;
(2)连接BE,若AB=2,AD=4,求BE的长.
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【题目】如图,在边长为1的正方形组成的网格中,△AOB的顶点均在格点上,点A、B的坐标分别是A(3,2)、B(1,3).△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1.
(1)点A关于点O中心对称的点的坐标为 ;
(2)点A1的坐标为 ;
(3)在旋转过程中,求线段AB扫过的面积?
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【题目】已知,菱形ABCD中,E,F分别是对角线BD和边BC上一点,且满足∠EAF=∠ABD=.
(1)如图(1),当=45°时,求证:AF=
AE
(2)如图(2),探究AF与AE的数量关系(用含的锐角三角函数表示)
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