Question

已知：正方形OABC的边OC、OA分别在x、y轴的正半轴上，设点B（4，4），点P（t，0）是x轴上一动点，过点O作OH⊥AP于点H，直线OH交直线BC于点D，连AD。
（1）如图1，当点P在线段OC上时，求证：OP=CD；
（2）在点P运动过程中，△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似时，求t的值；
（3）如图2，抛物线y=－x²+x+4上是否存在点Q，使得以P、D、Q、C为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）证明略；4分
（2）t₁=2，t₂=，t₃=    4分（一个对2分，以后每个1分）
（3）t₁=2，t₂=12，t₃=-6，t₄=-2   4分

第一问中，根据B,P点的坐标，以及过点O作OH⊥AP于点H，直线OH交直线BC于点D，连AD，可知得到直角三角形，利用△AOP全等于△OCD，得到结论。
第二问中，在点P运动过程中，△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似时，利用相似比得到t的值
第三问中，要在抛物线上找到一点Q，使得以P、D、Q、C为顶点的四边形为平行四边形，则平行的对边情分为几种，就是PD//QC,PC//QD,PQ//CD,然后利用点直线平行得到参数t的值即为t₁=2，t₂=12，t₃=-6，t₄=-2