Question

【题目】我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，AC=2，D是BC的中点，点M是AB边上一点，当四边形ACDM是“等邻边四边形”时，BM的长为 ．

Answer 1

【答案】2或3或
【解析】解：当AM=AC时，如图1所示． ∵AB=4，AC=2，
∴BE=AB﹣AE=4﹣2=2；
当DM=DC时，过点D作DE⊥AB于E，如图2所示．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，AC=2，
∴BC= =2 ，∠B=30°．
∵D是BC的中点，
∴BD=CD=DM= ．
在Rt△BDE中，BD= ，∠B=30°，∠BED=90°，
∴DE= BD= ，BE= = ．
∵DB=DM，DE⊥BM，
∴BM=2BE=3；
当MD=MA时，如图3所示．
∵BE= ，AB=4，
∴AE= ．
设EM=x，则AM= ﹣x．
在Rt△DEM中，DE= ，∠DEM=90°，EM=x，
∴DM2=DE2+EM2= +x2 ．
∵MD=MA，
∴ +x2=（ ﹣x）2 ，
解得：x= ，
∴BM=BE+EM= + = ．
综上所述：当四边形ACDM是“等邻边四边形”时，BM的长为2或3或 ．
所以答案是：2或3或 ．

【考点精析】关于本题考查的含30度角的直角三角形和勾股定理的概念，需要了解在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正确答案．