Question

【题目】如图，已知，在△ABC中，∠B＜∠C，AD平分∠BAC，E是线段AD(除去端点A、D)上一动点，EF⊥BC于点F.

（1）若∠B＝40°，∠DEF＝10°，求∠C的度数．
（2）当E在AD上移动时，∠B、∠C、∠DEF之间存在怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵EF⊥BC，∠DEF＝10°，

∴∠EDF＝80°.

∵∠B＝40°，

∴∠BAD＝∠EDF－∠B＝80°－40°＝40°.

∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝80°.

∴∠C＝180°－40°－80°＝60°.

（2）解：∠C－∠B＝2∠DEF.理由如下：

∵EF⊥BC，∴∠EDF＝90°－∠DEF.

∵∠EDF＝∠B＋∠BAD，

∴∠BAD＝90°－∠DEF－∠B.

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAC＝2∠BAD＝180°－2∠DEF－2∠B.

∴∠B＋180°－2∠DEF－2∠B＋∠C＝180°.

∴∠C－∠B＝2∠DEF.

【解析】 （1）根据垂直的定义及三角形的内角和得出∠EDF＝80°. 根据三角形的外角性质得出∠BAD＝∠EDF－∠B＝80°－40°＝40°.根据角平分线的定义得出∠BAC＝80°.根据三角形的内角和得出∠C的度数 ；
（2）∠C－∠B＝2∠DEF.理由如下：根据三角形的内角和及外角的性质得出∠BAD＝90°－∠DEF－∠B.根据角平分线的定义得出∠BAC＝2∠BAD＝180°－2∠DEF－2∠B ，根据三角形的内角和得出∠B＋180°－2∠DEF－2∠B＋∠C＝180°.从而得出结论;∠C－∠B＝2∠DEF .