Question

【题目】如图①，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在AD、AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）如图②，
i）当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，线段BD与线段CF的数量关系是；直线BD与直线CF的位置关系是 ．
ii）请利用图②证明上述结论．
（2）如图③，当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，延长DB交CF于点H，若AB= ，AD=3时，求线段FC的长．

Answer 1

【答案】
（1）BD=CF,BD⊥CF
（2）如图3，过点B作BP⊥AD于P，

由旋转知，∠BAD=45°，

在Rt△ABP中，AB= ，

∴AP=BP=1，

∴DP=AD﹣AP=2，

在Rt△BDP中，根据勾股定理得，BD= = ，

由（1）知，FC=BD= ．

【解析】解：（1）、i）BD=CF，BD⊥CF，

所以答案是：BD=CF，BD⊥CF；

ii）证明：如图2，延长DB交AF于点M，交CF于点N，

在正方形ADEF中，AD=AF，∠FAD=∠CBA=90°，

在△ABD和△ACF中， ，

∴△ABD≌△ACF（SAS），

∴BD=CF，∠ADB=∠AFC，

∵∠ADB+∠AMD=90°，

∴∠ADB+∠AMD=90°，

∴∠AFC+∠AMD=90°，

∵∠AMD=∠FMN，

∴∠AFC+∠FMN=90°，

∴∠FND=90°，

∴BD⊥CF；