Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，且AC=BC，AB=2AD．

（1）求∠ADC的度数；
（2）若AB=10cm，CD=12cm，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：作CE⊥AB交AB于点E，则∠AEC=90°，

∵AC=BC，

∴CE是AB的垂直平分线，

∴AE=BE= AB，

∵AB=2AD，

∴AE=AD= AB，

∵∠AC平分∠BAD，

∴∠EAC=∠DAC，

在△ADC和△AEC中，

，

∴△ADC≌△AEC，

∴∠ADC=∠AEC=90°

（2）解：∵CE是AB的垂直平分线，

∴S△ACD=S△AEC，

∵AB=2AD，CD=CE，

∴S△ACB=2S△ADC，

∴四边形ABCD的面积=3S△ADC=3× ×5×12=90cm2．

【解析】（1）作CE⊥AB交AB于点E，则∠AEC=90°，利用已知条件和全等三角形的判定方法可证明△ADC≌△AEC，利用全等三角形的性质即可得到∠ADC=∠AEC=90°；（2）由（1）可知S△ACD=S△AEC ， 再根据高相等的两个三角形面积比等于底之比可得S△ACB=2S△ADC ， 进而四边形ABCD的面积=3S△ADC ， 问题得解．