【题目】如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（0，b）（b＞0）．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P′（点P′不在y轴上），连接PP′，P′A，P′C．设点P的横坐标为a．
（1）当b=3时， ①求直线AB的解析式；
②若点P′的坐标是（﹣1，m），求m的值；
（2）若点P在第一象限，记直线AB与P′C的交点为D．当P′D：DC=1：3时，求a的值；
（3）是否同时存在a，b，使△P′CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由．

参考答案：

【答案】
（1）解：①设直线AB的解析式为y=kx+3，

把x=﹣4，y=0代入得：﹣4k+3=0，

∴k= ，

∴直线的解析式是：y= x+3，

②P′（﹣1，m），

∴点P的坐标是（1，m），

∵点P在直线AB上，

∴m= ×1+3=


（2）解：∵PP′∥AC，

△PP′D∽△ACD，

∴ ，即 = ，

∴a=


（3）解：以下分三种情况讨论．

①当点P在第一象限时，

(i)若∠AP′C=90°，P′A=P′C（如图1）

过点P′作P′H⊥x轴于点H．

∴PP′=CH=AH=P′H= AC．

∴2a= （a+4）

∴a=

∵P′H=PC= AC，△ACP∽△AOB

∴ = ，即 = ，

∴b=2

(ii)若∠P′AC=90°，（如图2），

则四边形P′ACP是矩形，则PP′=AC．

若△PCA为等腰直角三角形，则：P′A=CA，

∴2a=a+4

∴a=4

∵P′A=PC=AC，△ACP∽△AOB

∴ =1，即 =1

∴b=4

(iii)若∠P′CA=90°，

则点P′，P都在第一象限内，这与条件矛盾．

∴△P′CA不可能是以C为直角顶点的等腰直角三角形．

②当点P在第二象限时，∠P′CA为钝角（如图3），

此时△P′CA不可能是等腰直角三角形；

③当P在第三象限时，∠P′AC为钝角（如图4），此时△P′CA不可能是等腰直角三角形．

所有满足条件的a，b的值为： ， ．


【解析】（1）①利用待定系数法即可求得函数的解析式；②把（﹣1，m）代入函数解析式即可求得m的值；（2）可以证明△PP′D∽△ACD，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解；（3）分P在第一，二，三象限，三种情况进行讨论．利用相似三角形的性质即可求解．
【考点精析】掌握等腰直角三角形和确定一次函数的表达式是解答本题的根本，需要知道等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法．

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