Question

【题目】如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．

（1）求抛物线的解析式：
（2）求△ABC的面积；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM周长最短？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在y=3x﹣3中，令y=0可求得x=1，令x=0可得y=﹣3，

∴A（1，0），B（0，﹣3），

把A、B两点的坐标分别代入y=x2+bx+c得 ，解得 ，

∴抛物线解析式为y=x2+2x﹣3

（2）

解：令y=0得0=x2+2x﹣3，解得x1=1，x2=﹣3

∴C（﹣3，0），AC=4

∴S△ABC= ACOB= ×4×3=6

（3）

解：∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，

∴抛物线的对称轴为x=﹣1，

∵A、C关于对称轴对称，

∴MA=MC，

∴MB+MA=MB+MC，

∴当B、M、C三点在同一条直线上时MB+MC最小，此时△ABM的周长最小，

∴连接BC交对称轴于点M，则M即为满足条件的点，

设直线BC的解析式为y=kx+m，

∵直线BC过点B（0，﹣3），C（﹣3，0），

∴ ，解得 ，

∴直线BC的解析式y=﹣x﹣3，

当x=﹣1时，y=﹣2，

∴M（﹣1，﹣2），

∴存在点M使△ABM周长最短，其坐标为（﹣1，﹣2）

【解析】（1）由直线解析式可求得A、B两点的坐标，根据待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由抛物线解析式可求得C点坐标，再根据三角形的面积可求得答案；（3）连接BC交对称轴于点M，由题意可知A、C关于对称轴对称，则可知MA=MC，故当B、M、C三点在同一条直线上时MA+MB最小，则△ABM的周长最小，由B、C坐标可求得直线BC的解析式，则可求得M点的坐标．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．