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如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BD⊥DC,BC=10cm,CD=6cm.有两个动点E、F分别在线段CD与BC上运动,点E以每秒1cm的速度从点C向点D匀速运动.点F以每秒2cm的速度从点B向点C匀速运动;当其中一点到达终点时,另一点也随之停止.设运动的时间为t秒.
(1)求AD的长;
(2)设四边形BFED的面积为y,求y 关于t的函数关系式,并写出t的取值范围;
(3)点E、F在运动过程中,如果由点C、E、F构成的三角形与△BDC相似,求线段BF的长.
分析:(1)在直角三角形BCD中,由CD与BC的长,利用勾股定理求出BD的长,再由AD与BC平行,利用两直线平行内错角相等得到一对角相等,由cos∠CBD的值求出cos∠ADB的值,利用锐角三角函数定义即可求出AD的长;
(2)由BD与CD的长,求出三角形BCD的面积,如图2,过点E作EH⊥AB,垂足为H,表示出三角形CEF的面积,由三角形BCD的面积减去三角形CEF的面积,即可列出y关于t的函数关系式,并求出此时t的范围;
(3)分两种情况考虑:①如图3,当∠CEF=∠BDC=90°时,△EFC∽△DBC;②如图4,当∠CFE=∠CDB=90°时,△EFC∽△BDC,分别由相似得比例,将各自的值代入列出关于t的方程,求出方程的解即可得到t的值.
解答:解:(1)在Rt△BCD中,CD=6cm,BC=10cm,
根据勾股定理得:BD=
BC2-CD2
=8cm,
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠CBD,
在Rt△BCD中,BD=8cm,cos∠ADB=cos∠CBD=
BD
BC
=
8
10
=
4
5

∴AD=BD•cos∠ADB=
32
5
cm;                 
(2)∵BD=8cm,CD=6cm,
∴S△BCD=
1
2
BD•CD=24(cm2),
如图2,过点E作EH⊥AB,垂足为H,
在Rt△CEH中,CE=t,sinC=
BD
BC
=
8
10
=
4
5

∴EH=CE•sinC=
4
5
t,
∴S△CEF=
1
2
CF•EH=
1
2
(10-2t)×
4
5
t=-
4
5
t2+4t(cm2),
∴y=S△BCD-S△CEF=24-(-
4
5
t2+4t)=
4
5
t2-4t+24(cm2),t的取值范围是0<t<5;

(3)①如图3,当∠CEF=∠BDC=90°时,△EFC∽△DBC,
CE
CF
=
CD
CB
=
6
10
=
3
5
,即
t
10-2t
=
3
5

解得:t=
30
11
,此时BF=2t=
60
11
cm;                               
②如图4,当∠CFE=∠CDB=90°时,△EFC∽△BDC,
CF
CE
=
CD
CB
=
6
10
=
3
5
,即
10-2t
t
=
3
5

解得:t=
50
13
,此时BF=2t=
100
13
cm.
点评:此题属于相似形综合题,涉及的知识有:相似三角形的判定与性质,勾股定理,锐角三角函数定义,以及三角形的面积求法,利用了分类讨论的思想,分类讨论时要做到不重不漏,考虑问题要全面.
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A、3B、4C、5D、6

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阅读理解:如图1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,点P在BC边上,当∠APD=90°时,易证△ABP∽△PCD,从而得到BP•PC=AB•CD,解答下列问题.
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(2)拓展应用:如图3,在四边形ABCD中,AB=4,BC=10,CD=6,∠B=∠C=60°,AO⊥BC于点O,以O为顶点,以BC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,点P为线段OC上一动点(不与端点O、C重合)
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(ii)过点P作PE⊥PD,交y轴于点E,设PO=x,OE=y,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.精英家教网

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27、如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.容易证得:CE=CF;
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A、16B、48C、24D、64

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