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【题目】已知二次函数图象过点A（-2，0），B（4，0），C（0，4）
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得∠BMC=90°？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角
，且tan=
，求点K的坐标．
【答案】（1）
；（2）线段上存在
，使得
，理由详见解析；（3）抛物线上符合条件的点
坐标为： 
或
或
或
．
【解析】
（1）设二次函数的解析式为
，将点C坐标代入可求解；
（2）利用中点坐标公式可求P（﹣1，2），点Q（2，2），由勾股定理可求BC的长，由待定系数法可求PB解析式，设点M
，由两点距离公式可得
，可求
或
，即可求解；
（3）过点D作DE⊥BC于点E，设直线DK与BC交于点N，先求出
，
，由锐角三角函数可求
，分DK与射线EC交于点
和DK与射线EB交于两种情况讨论，求出直线DK解析式，联立方程组可求点K坐标．
解：（1）二次函数的图象过点
设二次函数解析式为
又二次函数的图象过点
，
∴
，即
故二次函数解析式为
（2）线段上存在，使得，理由如下：
设
中点为
，由题意，易知的坐标为
，
若，则
∵
，∴≈
的中点
为
设
所在的直线为
，则
，得
所在的直线为
在线段上，设的坐标为，其中
如图1，分别过，作
轴与
轴的垂线
，
，设，相交于点
，
∴
∵
∴
整理得
，解得或
当时，
，重合，不合题意（舍去）
∴，则的坐标为
故线段上存在，使得
（3）如图2，过点
作
于点
，设直线
与交于点
∵
∴
∵
∴直线
在
中
①若与射线
交于点
∴
∴
∴
∴直线
∴
解得
或
②若与射线
交于点
∴
∴
∴
∴直线
，解得
或
综上所述，抛物线上符合条件的点坐标为：
或或或．
