Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上的任意一点 （不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．
（1）弦长AB等于（结果保留根号）；
（2）当∠D=20°时，求∠BOD的度数；
（3）当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、0为顶点的三角形相似？请写出解答过程．

Answer 1

【答案】
（1）2
（2）解：连接OA，

∵OA=OB，OA=OD，

∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，

∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D，

又∵∠B=30°，∠D=20°，

∴∠DAB=50°，

∴∠BOD=2∠DAB=100°；

（3）解：∵∠BCO=∠A+∠D，

∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D，

∴要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，

此时∠BOC=60°，∠BOD=120°，

∴∠DAC=60°，

∴△DAC∽△BOC，

∵∠BCO=90°，

即OC⊥AB，

∴AC= AB= ．

∴当AC的长度为 时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、0为顶点的三角形相似．

【解析】解：（1）过点O作OE⊥AB于E， 则AE=BE= AB，∠OEB=90°，
∵OB=2，∠B=30°，
∴BE=OBcos∠B=2× = ，
∴AB=2 ；
故答案为：2 ；
（1）过点O作OE⊥AB于E，由垂径定理即可求得AB的长；（2）连接OA，由OA=OB，OA=OD，可得∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，则可求得∠DAB的度数，又由圆周角等于同弧所对圆心角的一半，即可求得∠DOB的度数；（3）由∠BCO=∠A+∠D，可得要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，然后由相似三角形的性质即可求得答案．