Question

【题目】如图，射线OA∥射线CB，∠C=∠OAB=100°．点D、E在线段CB上，且∠DOB=∠BOA，OE平分∠DOC．

（1）试说明AB∥OC的理由；

（2）试求∠BOE的度数；

（3）平移线段AB；

①试问∠OBC：∠ODC的值是否会发生变化？若不会，请求出这个比值；若会，请找出相应变化规律．

②若在平移过程中存在某种情况使得∠OEC=∠OBA，试求此时∠OEC的度数．

Answer 1

【答案】（1）理由见解析（2）40°（3）①1：2②60°

【解析】试题分析：（1）根据OA//CB，得出，再根据已知条件，即可证明∠C+∠ABC=180°，从而得证.（2）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOC，再求出∠EOB=∠AOC.（3）①根据两直线平行，内错角相等可得∠AOB=∠OBC，再根据三角形的外角性质∠OEC=2∠OBC即可.②根据三角形的内角定理，求出∠COE=∠AOB，从而得到OB、OD、OE是∠AOC的四等分线，在利用三角形的内角定理即可求出∠OEC的度数.

试题解析：（1）∵OA∥CB，∴∠OAB+∠ABC=180°，∵∠C=∠OAB=100°，∴∠C+∠ABC=180°，

∴AB∥OC . （2）∵CB∥OA，∴∠AOC=180°﹣∠C=180°﹣100°=80°，∵OE平分∠COD，∴∠COE=∠EOD，∵∠DOB=∠AOB，∴∠EOB=∠EOD+∠DOB=∠AOC=×80°=40°；（3）①∵CB∥OA，∴∠AOB=∠OBC，∵∠EOB=∠AOB，∴∠EOB=∠OBC，∴∠OEC=∠EOB+∠OBC=2∠OBC，∴∠OBC：∠OEC=1：2，是定值；

②在△COE和△AOB中，∵∠OEC=∠OBA，∠C=∠OAB，∴∠COE=∠AOB，∴OB、OD、OE是∠AOC的四等分线，

∴∠COE=∠AOC=×80°=20°，∴∠OEC=180°﹣∠C﹣∠COE=180°﹣100°﹣20°=60°，∴∠OEC=∠OBA，此时∠OEC=∠OBA=60°.