Question

【题目】如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=20°，点O是AB的中点，将OB绕点O顺时针旋转α角时（0°＜α＜180°），得到OP，当△ACP为等腰三角形时，α的值为_____．

Answer 1

【答案】40°或70°或100°．

【解析】

试题分析：根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．先连结AP，如图，由旋转的性质得OP=OB，则可判断点P、C在以AB为直径的圆上，利用圆周角定理得∠BAP=∠BOP=α，∠ACP=∠ABP=90°﹣α，∠APC=∠ABC=70°，然后分类讨论：当AP=AC时，∠APC=∠ACP，即90°﹣α=70°；当PA=PC时，∠PAC=∠ACP，即α+20°=90°﹣α，；当CP=CA时，∠CAP=∠CAP，即α+20°=70°，再分别解关于α的方程即可．连结AP，如图，

∵点O是AB的中点，∴OA=OB，∵OB绕点O顺时针旋转α角时（0°＜α＜180°），得到OP，∴OP=OB，∴点P在以AB为直径的圆上，∴∠BAP=∠BOP=α，∠APC=∠ABC=70°，∵∠ACB=90°，∴点P、C在以AB为直径的圆上，∴∠ACP=∠ABP=90°﹣α，∠APC=∠ABC=70°，当AP=AC时，∠APC=∠ACP，即90°﹣α=70°，解得α=40°；当PA=PC时，∠PAC=∠ACP，即α+20°=90°﹣α，解得α=70°；当CP=CA时，∠CAP=∠CAP，即α+20°=70°，解得α=100°，综上所述，α的值为40°或70°或100°．故答案为40°或70°或100°．