Question

【题目】（1）如图（1），在△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，已知：∠B=30°，∠C=50°．求∠DAE的度数；

（2）如图（2），∠BAC的角平分线AF交BC于点E，过点F作FD⊥BC于点D，若∠B = x°，∠C =（x+30）° .

①∠CAE =　 　（含x的代数式表示）②求∠F的度数．

Answer 1

【答案】（1）∠DAE = 10° ；（2） ①∠CAE = (75－x) °，② ∠F =15°

【解析】试题分析：（1）先根据三角形内角和得到∠CAB=180°-∠B-∠C=100°，再根据角平分线与高线的定义得到∠CAE=∠CAB=50°，∠ADC=90°，则∠CAD=90°-∠C=40°，然后利用∠DAE=∠CAE-∠CAD计算即可；

（2）根据题意可知∠B=x°，∠C=（x+30）°，根据三角形的内角和定理可知∠ADC+∠DAC+∠C=180°，∠ADC=∠B+∠BAF，根据角平分线的性质，可知∠EAC=∠BAF，可得出∠ADC的度数，再根据FD⊥BC，可得出∠F的度数．

试题解析：（1）∵∠B=30°，∠C=50°，

∴∠CAB=180°-∠B-∠C=100°，

∵AD是△ABC角平分线，

∴∠CAE=∠CAB=50°，

∵AE是△ABC的高，

∴∠ADC=90°，

∴∠CAD=90°-∠C=40°，

∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=50°-40°=10°；

（2）①∵∠B=x°，∠C=（x+30）°，AF平分∠BAC，

∴∠EAC=∠BAF，

∴∠CAE=×[180°-x°-（x+30）°]=75°-x°，

②∠AEC=∠BAE+∠B=75°，

∵FD⊥BC，

∴∠F=15°．