Question

【题目】已知抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,连结AC、BC，D是线段OB上一动点，以CD为一边向右侧作正方形CDEF，连结BF，若S△OBC=8，AC=BC。

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证：BF⊥AB；

（3）求∠FBE的度数；

（4）当D点沿x轴正方向移动到点B时，点E也随着移动，求点E所走过的路线长。

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为y=-x2+4；（2）证明见解析；（3）45°；（4）4.

【解析】

试题分析：（1）根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为y轴，则b=0；然后利用方程与二次函数的关系求得点B、C的坐标，由S△OBC=8可以求得c的值；

（2）由抛物线y=-x2+4交x轴于点A、B，当x=0，求出图象与y轴的交点坐标，以及y=0，求出图象与x轴的交点坐标，即可得出三角形的形状；首先证明△ACD≌△BCF，利用三角形的全等，得出∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，即可得出答案；

（3）如图，连接BE，过点E作EM⊥x轴于点M．易证△ODC≌△DME，则DM=OC=4，OD=EM．易求BM=EM．则∠MBE=∠MEB=45°；由（2）知，BF⊥AB，故

∠FBE=∠FBM-∠MBE=45°；

（4）由（3）知，点E在定直线上，当点D沿x轴正方向移动到点B时，点E所走过的路程长等于BC的长度．

试题解析：（1）如图，∵AC=BC，

∴该抛物线的对称轴是y轴，则b=0．

∴C（0，c），B（，0）．

∵S△OBC=8，

∴OCOB=×c×=8，解得c=4（c＞0）．

故该抛物线的解析式为y=-x2+4；

（2）证明：由（1）得到抛物线的解析式为y=-x2+4；

令y=0，得x1=4，x2=-4，

∴A（-4，0），B（4，0），

∴OA=OB=OC，

∴△ABC是等腰直角三角形；

如图，又∵四边形CDEF是正方形，

∴AC=BC，CD=CF，∠ACD=∠BCF，

在△ACD和△BCF中

，

∴△ACD≌△BCF（SAS），

∴∠CBF=∠CAD=45°，

∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，

∴BF⊥AB；

（3）如图，连接BE，过点E作EM⊥x轴于点M．

易证△ODC≌△DME，则DM=OC=4，OD=EM．

∵OD=OB-BD=4-BD=DM-BD=BM，

∴BM=EM．

∵∠EMB=90°，

∴∠MBE=∠MEB=45°；

由（2）知，BF⊥AB，

∴∠FBE=∠FBM-∠MBE=45°；

（4）由（3）知，点E在定直线上，当点D沿x轴正方向移动到点B时，点E所走过的路程长等于BC=4.