Question

【题目】如图所示，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0，-3)，对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求直线BC的函数表达式；

（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．

①当线段PQ 时，求tan∠CED的值；

②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．

（参考公式：抛物线的顶点坐标是）

Answer 1

【答案】（1）抛物线的函数表达式为．（2）直线BC的函数表达式为．（3）①②， ．

【解析】试题分析：（1）利用抛物线的对称轴方程可计算出b=-2，再把C（0，-3）代入抛物线解析式可得到c=-3，所以抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3；

（2）根据抛物线与x轴的交点问题得到A（-1，0），B（3，0），然后利用待定系数法求出直线BC的函数解析式；

（3）①由AB=4得PQ=AB=3，根据抛物线的对称性得到P点和Q点关于直线x=1对称，则P（-，- ），所以F（0，-），则FC=3-OF= ，由于PQ垂直平分CE于点F，则CE=2FC=，易得D（1，-2），过点D作DG⊥CE于点G，如图1，则DG=1，CG=1，所以GE=CE=CG= ，然后在Rt△EGD中，利用正切的定义求解；

②设E（0，t），利用两点间的距离公式得到DE2=12+（t+2）2，CD2=12+（-2+3）2=2，EC2=（t+3）2，然后分类讨论：当∠CDE=90°时，DE2+CD2=EC2，即12+（t+2）2+2=（t+3）2；当∠CED=90°时，DE2+CE2=CD2，即12+（t+2）2+（t+3）2=2；当∠ECD=90°时，CD2+CE2=DE2，即2+（t+3）2=12+（t+2）2，再分别解方程求出t确定E点坐标，然后根据二次函数图象上点的坐标特征确定P点坐标．

试题解析：

（1）依题意得 ， 解得 ，

所以抛物线的函数表达式为．

（2）令=0，得，

所以A(-1，0)，B(3，0)．

设直线BC的函数表达式为，

代入点B(3，0)和点C(0，-3)，得

解得．

所以直线BC的函数表达式为．

（3）①如图2所示，因为AB＝4，所以PQ．因为P、Q关于直线x＝1对称，

所以点P的横坐标为． 所以点P的坐标为，点F的坐标为．

所以 ， ．

所以 ，点E的坐标为．

直线BC: 与抛物线的对称轴x＝1的交点D的坐标为（1，－2）．

过点D作DH⊥y轴，垂足为H． 在Rt△EDH中，DH＝1， ，

所以tan∠CED．

②由图3、图4得点P的坐标为 ， ．

图2 图3 图4

点睛:本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法以及用待定系数法求一次函数的解析式和等腰直角三角形的性质,在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果.