Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上任意一点，BE的垂直平分线FG交对角AC于点F．求证：（1）BF＝DF；（2）BF⊥FE．

Answer 1

【答案】详见解析.

【解析】分析：（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠BAF=∠DAF=45°，由SAS证明△BAF≌△DAF，得出对应边相等即可；

（2）由线段垂直平分线的性质得出BF=EF，证出EF=DF，得出∠FDE=∠FED，再由全等三角形的性质证出∠ABF=∠FED，由邻补角关系得出∠FED+∠FEA=180°，证出∠ABF+∠FEA=180°，由四边形内角和得出∠BAE+∠BFE=180°，求出∠BFE=90°即可．

详解：证明：如图所示：

（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAF=∠DAF=45°，∠BAE=90°，

在△BAF和△DAF中，

，

∴△BAF≌△DAF（SAS），

∴BF=DF；

（2）∵BE的垂直平分线FG交对角AC于点F，

∴BF=EF，

∵BF=DF，

∴EF=DF，

∴∠FDE=∠FED，

∵△BAF≌△DAF，

∴∠ABF=∠FDE，

∴∠ABF=∠FED，

∵∠FED+∠FEA=180°，

∴∠ABF+∠FEA=180°，

∴∠BAE+∠BFE=180°，

∴∠BFE=90°，

∴BF⊥FE．