Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），DP交AC于点Q．

(1)求证：△APQ∽△CDQ;

(2)当PD⊥AC时，求线段PA的长度；

(3)当点P在线段AC的垂直平分线上时，

求sin∠ CPB的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）PA=；（3）sin∠ CPB=.

【解析】

试题分析：（1）利用两角对应相等的两个三角形易判断△APQ∽△CDQ；（2）由条件可推出△APD∽△DAC，得出，代入数值可求出PA的值；（3）由勾股定理能够求出PC的长度，再在Rt△CBP中求sin∠ CPB的值.

试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠CAB=∠DCA，∠APQ=∠CDQ，∴△APQ∽△CDQ .

（2）PD⊥AC，∴∠ACD+∠PDC=90° ，∵∠PDA+∠PDA=90°，∴∠ACD=∠PDA，∵∠ADC=∠PAD=90°，∴△ADC∽△PDA，∴，，∴PA=.（3）当点P在线段AC的垂直平分线上时，PA=PC.设PA=x，则PB=10-x.又在矩形ABCD中，∠B=90°，∴，∴.解得：x=，∴PC=PA=.∴sin∠CPB=