Question

【题目】（1）在正方形ABCD中，G是CD边上的一个动点（不与C、D重合），以CG为边在正方形ABCD外作一个正方形CEFG，连结BG、DE，如图①．直接写出线段BG、DE的关系 ；

（2）将图①中的正方形CEFG绕点C按顺时针方向旋转任意角度，如图②，试判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论，若不成立，说明理由；

（3）将（1）中的正方形都改为矩形，如图③，再将矩形CEFG绕点C按顺时针方向旋转任意角度，如图④，若AB=a，BC=b；CE =ka，CG=kb，()试判断（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）BG=DE， BG⊥DE；(2)BG=DE， BG⊥DE；(3)BG⊥DE成立，BG=DE不成立，理由见解析．

【解析】

（1）由正方形的性质得出BC＝CD，CE＝CG，∠BCD＝∠ECG＝90°，由SAS证明△BCG≌△DCE，得出BG＝DE，∠CBG＝∠CDE，延长BG交DE于H，由角的互余关系和对顶角相等证出∠CDE＋∠DGH＝90°，由三角形内角和定理得出∠DHG＝90°即可；

（2）由正方形的性质可得BC＝CD，CE＝CG，∠BCD＝∠ECG＝90°，然后求出∠BCG＝∠DCE，由SAS证明△BCG和△DCE全等，由全等三角形对应边相等可得BG＝DE，全等三角形对应角相等可得∠CBG＝∠CDE，然后求出∠DOH＝90°，再根据垂直的定义证明即可；

（3）根据矩形的性质证明△BCG∽△DCE，得到，根据相似三角形对应角相等可得∠CBG=∠CDE，然后求出∠DOH＝90°，再根据垂直的定义证明即可．

（1）解：BG＝DE，BG⊥DE；理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，四边形CEFG是正方形，

∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCD＝∠ECG＝90°，

在△BCG和△DCE中，

，

∴△BCG≌△DCE（SAS），

∴BG＝DE，∠CBG＝∠CDE，

延长BG交DE于H，如图所示：

∵∠CBG＋∠BGC＝90°，∠DGH＝∠BGC，

∴∠CDE＋∠DGH＝90°，

∴∠DHG＝90°，

∴BG⊥DE；

（2）解：成立；理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，四边形CEFG是正方形，

∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCD＝∠ECG＝90°，

∴∠BCD＋∠DCG＝∠ECG＋∠DCG，

即∠BCG＝∠DCE，

在△BCG和△DCE中，

，

∴△BCG≌△DCE（SAS），

∴BG＝DE，∠CBG＝∠CDE，

∵∠CBG＋∠BHC＝90°，∠BHC＝∠DHO，

∴∠CDE＋∠DHO＝90°，

在△DHO中，∠DOH＝180°（∠CDE＋∠DHO）＝180°90°＝90°，

∴BG⊥DE．　

(3)BG⊥DE成立，BG=DE不成立．　

结合图④说明如下：

∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，且AB=a，BC=b，CG=kb，CE=ka(a≠b，k＞0)，

，

∠BCD=∠ECG=90°．

∴∠BCG=∠DCE．

∴△BCG∽△DCE．　

∴，∠CBG=∠CDE．

又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°，

∴∠CDE+∠DHO=90°．

∴∠DOH=90°．

∴BG⊥DE．