Question

【题目】如图，两块大小不等的等腰直角三角形按图1放置，点为直角顶点，点在上，将绕点顺时针旋转角度，连接、.

（1）若，则当 时，四边形是平行四边形；

（2）图2，若于点，延长交于点，求证：是的中点；

（3）图3，若点是的中点，连接并延长交于点，求证：.

Answer 1

【答案】（1）时，四边形是平行四边形；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】

（1）当AC∥DE时，因为AC=DE，推出四边形ACDE是平行四边形，利用平行四边形的性质即可解决问题．

（2）如图2中，作DM⊥FM于M，BN⊥FM交FM的延长线于N．利用全等三角形的性质证明BN=DM，再证明△BNG≌△DMG（AAS）即可解决问题．

（3）如图3中，延长CM到K，使得MK=CM，连接AK．KM．想办法证明△BCD≌△CAK（SAS），即可解决问题．

（1）解：如图1-1中，连接AE．

当AC∥DE时，∵AC=DE，

∴四边形ACDE是平行四边形，

∴∠ACE=∠CED，

∵CE=CD，∠ECD=90°，

∴∠CED=45°，

∴α=∠ACE=45°．

故答案为45．

（2）证明：如图2中，作DM⊥FM于M，BN⊥FM交FM的延长线于N．

∵CF⊥AE，DM⊥FM，

∴∠CFE=∠CMD=∠ECD=90°，

∴∠ECF+∠CEF=90°，∠ECF+∠DCM=90°，

∴∠CEF=∠DCM，∵CE=CD，

∴△CFE≌△DMC（AAS），

∴DM=CF，

同法可证：CF=BN，

∴BN=DM，

∵BN⊥FM，

∴∠N=∠DMG=90°，

∵∠BGN=∠DGM，

∴△BNG≌△DMG（AAS），

∴BG=DG，

∴点G是BD的中点．

（3）证明：如图3中，延长CM到K，使得MK=CM，连接AK．KM．

∵AM-ME，CM=MK，

∴四边形ACEK是平行四边形，

∴AK=CE=CD，AK∥CE，

∴∠KAC+∠ACE=180°，

∵∠ACE+∠BCD=180°，

∴∠BCD=∠KAC，

∵CA=CB，CD=AK，

∴△BCD≌△CAK（SAS），

∵∠ACK=∠CBD，

∵∠ACK+∠BCN=90°，

∴∠CBD+∠BCN=90°，

∴∠CNB=90°，

∴CN⊥BD．