Question

【题目】如图，抛物线y= x2﹣mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣1）．且对称轴x=1．

（1）求出抛物线的解析式及A、B两点的坐标；
（2）在x轴下方的抛物线上是否存在点D，使四边形ABDC的面积为3？若存在，求出点D的坐标；若不存在．说明理由（使用图1）；
（3）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P的坐标（使用图2）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣1）．且对称轴x=l．

∴ ，解得： ，

∴抛物线解析式为y= x2﹣ x﹣1，

令 x2﹣ x﹣1=0，得：x1=﹣1，x2=3，

∴A（﹣1，0），B（3，0）

（2）

解：设在x轴下方的抛物线上存在D（a， ）（0＜a＜3）使四边形ABCD的面积为3．

作DM⊥x轴于M，则S四边形ABDC=S△AOC+S梯形OCDM+S△BMD，

∴S四边形ABDC= |xAyC|+ （|yD|+|yC|）xM+ （xB﹣xM）|yD|

= ×1×1+ [﹣（ a2﹣ a﹣1）+1]×a+ （3﹣a）[﹣（ a2﹣ a﹣1）]

=﹣ a2+ +2，

∴由﹣ a2+ +2=3，

解得：a1=1，a2=2，

∴D的纵坐标为： a2﹣ a﹣1=﹣ 或﹣1，

∴点D的坐标为（1，﹣ ），（2，﹣1）

（3）

解：①当AB为边时，只要PQ∥AB，且PQ=AB=4即可，又知点Q在y轴上，所以点P的横坐标为﹣4或4，

当x=﹣4时，y=7；当x=4时，y= ；

所以此时点P1的坐标为（﹣4，7），P2的坐标为（4， ）；

②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，线段AB中点为G，PQ必过G点且与y轴交于Q点，

过点P3作x轴的垂线交于点H，

可证得△P3HG≌△Q3OG，

∴GO=GH，

∵线段AB的中点G的横坐标为1，

∴此时点P横坐标为2，

由此当x=2时，y=﹣1，

∴这是有符合条件的点P3（2，﹣1），

∴所以符合条件的点为：P1的坐标为（﹣4，7），P2的坐标为（4， ）；P3（2，﹣1）．

【解析】（1）根据二次函数对称轴公式以及二次函数经过（0．﹣1）点即可得出答案；（2）根据S四边形ABDC=S△AOC+S梯形OCDM+S△BMD ， 表示出关于a的一元二次方程求出即可；（3）分别从当AB为边时，只要PQ∥AB，且PQ=AB=4即可以及当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，分别求出即可．
【考点精析】掌握二次函数的图象和二次函数的性质是解答本题的根本，需要知道二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．