Question

【题目】如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为BC的中点，点E与点C关于直线AD对称，CE与AD、AB分别交于点F、G，连接BE、BF、GD

求证：(1) △BEF为等腰直角三角形 ；（2) ∠ADC＝∠BDG.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）连接DE，根据对称轴和线段垂直平分线的性质，求出CF=EF，CD=DE，推出CD=ED=BD，根据直角三角形的判定推出△BEF是直角三角形，求出∠AFC=∠BEC=∠ACD=90°，∠CAF=∠ECB，根据全等三角形的判定定理得出△ACF≌△CBE，根据全等三角形的性质得证；

（2）作∠ACB的平分线交AD于M，根据ASA推出△ACM≌△CBG得出∠ADC=∠M，CD=BM，根据SAS推出△DCM≌△DBG，求出∠M=∠BDG，即可得出答案.

试题解析：（1）连接DE，

∵点E、C关于AD对称，∴AD为CE的垂直平分线，

∴CD=DE，∵D为CB中点，∴CD=DE=DB，

∴∠DCE=∠CED，∠DEB=∠DBE，

∵∠DCE+∠CED+∠DEB+∠DBE=180°，

∴∠CEB=90°，

∵∠ECB+∠ACF=90°，∠CAF+∠ACF=90°，

∴∠ECB=∠CAF，

在△ACF和△CBE中，

∵

∴△ACF≌△CBE（AAS），

∴CF=BE，右∵CF=EF，∴EF=EB，

∴△EFB为等腰直角三角形.

（2）作∠ACB的平分线交AD于M，

在△ACM和△CBG中，

∵

∴△ACM≌△CBG（ASA），

∴CM=BG，

在△DCM和△DBG中，

∵

∴△DCM≌△DBG（SAS），

∴∠ADC=∠GDB.