Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点B（4，0）、C（0，3），点A为x轴负半轴上一点，AM⊥BC于点M交y轴于点N，满足4CN=5ON．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．

（1）求抛物线的函数关系式；
（2）连接AC，点D在线段BC上方的抛物线上，连接DC、DB，若△BCD和△ABC面积满足S△BCD= S△ABC ， 求点D的坐标；
（3）如图2，E为OB中点，设F为线段BC上一点（不含端点），连接EF．一动点P从E出发，沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿着线段FC以每秒 个单位的速度运动到C后停止．若点P在整个运动过程中用时最少，请直接写出最少时间和此时点F的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵C（0，3），

∴OC=3，

∵4CN=5ON，

∴ON= ，

∵∠OAN=∠NCM，

∴△AON∽△COB，

∴ = ，即 = ，解得OA=1，

∴A（﹣1，0），

设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣4），

把C（0，3）代入得a1（﹣4）=3，解得a=﹣ ，

∴抛物线解析式为y=﹣ （x+1）（x﹣4）=﹣ x2+ x+3；

（2）

解：设直线BC的解析式为y=mx+n，

把C（0，3），B（4，0）代入得 ，解得 ，

∴直线BC的解析式为y=﹣ x+3，

作PQ∥y轴交BC于Q，如图1，

设P（x，﹣ x2+ x+3），则Q（x，﹣ x+3），

DQ=﹣ x2+ x+3﹣（﹣ x+3）=﹣ x2+3x，

∴S△BCD=S△CDQ+S△BDQ= 4（﹣ x2+3x）=﹣ x2+6x，

∵S△BCD= S△ABC，

∴﹣ x2+6x= × ×（4+1）×3，

整理得x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3，

∴D点坐标为（1， ）或（3，3）；

（3）

解：设F（m，﹣ x+3），则EF= = ，CF= ，

点P在整个运动过程中所用时间t=EF+ =EF+ CF≥2 ，当EF= CF时，取等号，此时t最小，

即 x2﹣ x+13=（ x）2，

整理得2x2﹣17x+26，解得x1=2，x2= （舍去），

∴点P在整个运动过程中所用的最少时间2× ×2=3秒，此时点F的坐标为（2， ）．

【解析】（1）先利用OC=3和4CN=5ON计算出ON= ，再证明△AON∽△COB，利用相似比计算出OA=1，得到A（﹣1，0），然后利用交点式可求出抛物线解析式为y=﹣ x2+ x+3；（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=﹣ x+3，作PQ∥y轴交BC于Q，如图1，设P（x，﹣ x2+ x+3），则Q（x，﹣ x+3），再计算出DQ=﹣ x2+3x，根据三角形面积公式得S△BCD=S△CDQ+S△BDQ=﹣ x2+6x，然后根据S△BCD= S△ABC得到﹣ x2+6x= × ×（4+1）×3，然后解方程求出x即可得到D点坐标；（3）设F（m，﹣ x+3）利用两点间的距离公式得到EF= ，CF= x，则点P在整个运动过程中所用时间t=EF+ =EF+ CF，根据不等式公式得到EF+ CF≥2 ，当EF= CF时，取等号，此时t最小，解方程 x2﹣ x+13=（ x）2得x1=2，x2= （舍去），于是得到点P在整个运动过程中所用的最少时间2× ×2=3秒，此时点F的坐标为（2， ）．