搜索
如图，在Rt△ABC中，AB=AC=4
．一动点P从点B出发，沿BC方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C即停止．在整个运动过程中，过点P作PD⊥BC与Rt△ABC的直角边相交于点D，延长PD至点Q，使得PD=QD，以PQ为斜边在PQ左侧作等腰直角三角形PQE．设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）在整个运动过程中，设△ABC与△PQE重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及相应的自变量t的取值范围；
（2）当点D在线段AB上时，连接AQ、AP，是否存在这样的t，使得△APQ成为等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由；
（3）当t=4秒时，以PQ为斜边在PQ右侧作等腰直角三角形PQF，将四边形PEQF绕点P旋转，PE与线段AB相交于点M，PF与线段AC相交于点N．试判断在这一旋转过程中，四边形PMAN的面积是否发生变化？若发生变化，求出四边形PMAN的面积y与PM的长x之间的函数关系式以及相应的自变量x的取值范围；若不发生变化，求出此定值．
| 2 |
（1）在整个运动过程中，设△ABC与△PQE重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及相应的自变量t的取值范围；
（2）当点D在线段AB上时，连接AQ、AP，是否存在这样的t，使得△APQ成为等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由；
（3）当t=4秒时，以PQ为斜边在PQ右侧作等腰直角三角形PQF，将四边形PEQF绕点P旋转，PE与线段AB相交于点M，PF与线段AC相交于点N．试判断在这一旋转过程中，四边形PMAN的面积是否发生变化？若发生变化，求出四边形PMAN的面积y与PM的长x之间的函数关系式以及相应的自变量x的取值范围；若不发生变化，求出此定值．
分析：（1）当PQ过A时求出t=4，当E在AB上时求出t=
，当P到C点时t=8，即分为三种情况：根据三角形面积公式求出当0＜t≤4时，S=
t2，当4＜t≤
时，S=-
t2+8t-16，当
＜t＜8时，S=
t2-12t+48；
（2）存在，当点D在线段AB上时，求出QD=PD=t，PD=2t，过点A作AH⊥BC于点H，PH=BH-BP=4-t，在Rt△APH中求出AP=
=
，（ⅰ）若AP=PQ，则有
=2t，（ⅱ）若AQ=PQ，过点Q作QG⊥AP于点G，根据△PGQ∽△AHP求出PG=
，若AQ=PQ，得出
=
．（ⅲ）若AP=AQ，过点A作AT⊥PQ于点T，得出4=
×2t，求出方程的解即可；
（3）四边形PMAN的面积不发生变化，连接AP，此时t=4秒，求出S四边形PMAN=S△APM+S△APN=S△CPN+S△APN=S△ACP=
×CP×AP=8．
| 16 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 16 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
| 16 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
（2）存在，当点D在线段AB上时，求出QD=PD=t，PD=2t，过点A作AH⊥BC于点H，PH=BH-BP=4-t，在Rt△APH中求出AP=
| AH2+PH2 |
| t2-8t+32 |
| t2-8t+32 |
| 8t | ||
|
| 8t | ||
|
| 1 |
| 2 |
| t2-8t+32 |
| 1 |
| 2 |
（3）四边形PMAN的面积不发生变化，连接AP，此时t=4秒，求出S四边形PMAN=S△APM+S△APN=S△CPN+S△APN=S△ACP=
| 1 |
| 2 |
解答：解：（1）当0＜t≤4时，S=
t2，
当4＜t≤
时，S=-
t2+8t-16，
当
＜t＜8时，S=
t2-12t+48；
（2）存在，理由如下：
当点D在线段AB上时，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=
（180°-∠BAC）=45°．
∵PD⊥BC，
∴∠BPD=90°，
∴∠BDP=45°，
∴PD=BP=t，
∴QD=PD=t，
∴PQ=QD+PD=2t．
过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB=AC，
∴BH=CH=
BC=4，AH=BH=4，
∴PH=BH-BP=4-t，
在Rt△APH中，AP=
=
；
（ⅰ）若AP=PQ，则有
=2t．
解得：t1=
，t2=
（不合题意，舍去）；
（ⅱ）若AQ=PQ，过点Q作QG⊥AP于点G，如图（1），
∵∠BPQ=∠BHA=90°，
∴PQ∥AH．
∴∠APQ=∠PAH．
∵QG⊥AP，
∴∠PGQ=90°，
∴∠PGQ=∠AHP=90°，
∴△PGQ∽△AHP，
∴
=
，即
=
，
∴PG=
，
若AQ=PQ，由于QG⊥AP，则有AG=PG，即PG=
AP，
即
=
．
解得：t1=12-4
，t2=12+4
（不合题意，舍去）；
（ⅲ）若AP=AQ，过点A作AT⊥PQ于点T，如图（2），
易知四边形AHPT是矩形，故PT=AH=4．
若AP=AQ，由于AT⊥PQ，则有QT=PT，即PT=
PQ，
即4=
×2t．解得t=4．
当t=4时，A、P、Q三点共线，△APQ不存在，故t=4舍去．
综上所述，存在这样的t，使得△APQ成为等腰三角形，即t1=
秒或t2=（12-4
）秒；
（3）四边形PMAN的面积不发生变化．理由如下：
∵等腰直角三角形PQE，
∴∠EPQ=45°，
∵等腰直角三角形PQF，
∴∠FPQ=45°．
∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=45°+45°=90°，
连接AP，如图（3），
∵此时t=4秒，
∴BP=4×1=4=
BC，
∴点P为BC的中点．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AP⊥BC，AP=
BC=CP=BP=4，∠BAP=∠CAP=
∠BAC=45°，
∴∠APC=90°，∠C=45°，
∴∠C=∠BAP=45°，
∵∠APC=∠CPN+∠APN=90°，
∠EPF=∠APM+∠APN=90°，
∴∠CPN=∠APM，
∴△CPN≌△APM，
∴S△CPN=S△APM，
∴S四边形PMAN=S△APM+S△APN=S△CPN+S△APN=S△ACP=
×CP×AP=
×4×4=8．
∴四边形PMAN的面积不发生变化，此定值为8．
| 1 |
| 4 |
当4＜t≤
| 16 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
当
| 16 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
（2）存在，理由如下：
当点D在线段AB上时，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=
| 1 |
| 2 |
∵PD⊥BC，
∴∠BPD=90°，
∴∠BDP=45°，
∴PD=BP=t，
∴QD=PD=t，
∴PQ=QD+PD=2t．
过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB=AC，
∴BH=CH=
| 1 |
| 2 |
∴PH=BH-BP=4-t，
在Rt△APH中，AP=
| AH2+PH2 |
| t2-8t+32 |
（ⅰ）若AP=PQ，则有
| t2-8t+32 |
解得：t1=
4
| ||
| 3 |
-4
| ||
| 3 |
（ⅱ）若AQ=PQ，过点Q作QG⊥AP于点G，如图（1），
∵∠BPQ=∠BHA=90°，
∴PQ∥AH．
∴∠APQ=∠PAH．
∵QG⊥AP，
∴∠PGQ=90°，
∴∠PGQ=∠AHP=90°，
∴△PGQ∽△AHP，
∴
| PG |
| AH |
| PQ |
| AP |
| PG |
| 4 |
| 2t | ||
|
∴PG=
| 8t | ||
|
若AQ=PQ，由于QG⊥AP，则有AG=PG，即PG=
| 1 |
| 2 |
即
| 8t | ||
|
| 1 |
| 2 |
| t2-8t+32 |
解得：t1=12-4
| 7 |
| 7 |
（ⅲ）若AP=AQ，过点A作AT⊥PQ于点T，如图（2），
易知四边形AHPT是矩形，故PT=AH=4．
若AP=AQ，由于AT⊥PQ，则有QT=PT，即PT=
| 1 |
| 2 |
即4=
| 1 |
| 2 |
当t=4时，A、P、Q三点共线，△APQ不存在，故t=4舍去．
综上所述，存在这样的t，使得△APQ成为等腰三角形，即t1=
4
| ||
| 3 |
| 7 |
（3）四边形PMAN的面积不发生变化．理由如下：
∵等腰直角三角形PQE，
∴∠EPQ=45°，
∵等腰直角三角形PQF，
∴∠FPQ=45°．
∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=45°+45°=90°，
连接AP，如图（3），
∵此时t=4秒，
∴BP=4×1=4=
| 1 |
| 2 |
∴点P为BC的中点．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AP⊥BC，AP=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴∠APC=90°，∠C=45°，
∴∠C=∠BAP=45°，
∵∠APC=∠CPN+∠APN=90°，
∠EPF=∠APM+∠APN=90°，
∴∠CPN=∠APM，
∴△CPN≌△APM，
∴S△CPN=S△APM，
∴S四边形PMAN=S△APM+S△APN=S△CPN+S△APN=S△ACP=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴四边形PMAN的面积不发生变化，此定值为8．
点评：本题考查了三角形面积，相似三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰直角三角形等知识点的综合运用，用了分类讨论思想和方程思想，难度偏大．
