Question

【题目】如图甲，AB⊥BD，CD⊥BD，AP⊥PC，垂足分别为B、P、D，且三个垂足在同一直线上，我们把这样的图形叫“三垂图”．

（1）证明：ABCD=PBPD．
（2）如图乙，也是一个“三垂图”，上述结论成立吗？请说明理由．
（3）已知抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点（0，﹣3），顶点为P，如图丙所示，若Q是抛物线上异于A、B、P的点，使得∠QAP=90°，求Q点坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，

∴∠B=∠D=90°，

∴∠A+∠APB=90°，

∵AP⊥PC，

∴∠APB+∠CPD=90°，

∴∠A=∠CPD，

∴△ABP∽△PCD，

∴ = ，

∴ABCD=PBPD

（2）

ABCD=PBPD仍然成立．

理由如下：∵AB⊥BD，CD⊥BD，

∴∠B=∠CDP=90°，

∴∠A+∠APB=90°，

∵AP⊥PC，

∴∠APB+∠CPD=90°，

∴∠A=∠CPD，

∴△ABP∽△PCD，

∴ = ，

∴ABCD=PBPD

（3）

设抛物线解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），

∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点（0，﹣3），

∴ ，

解得 ，

所以，y=x2﹣2x﹣3，

∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴顶点P的坐标为（1，﹣4），

过点P作PC⊥x轴于C，设AQ与y轴相交于D，

则AO=1，AC=1+1=2，PC=4，

根据（2）的结论，AOAC=ODPC，

∴1×2=OD4，

解得OD= ，

∴点D的坐标为（0， ），

设直线AD的解析式为y=kx+b（k≠0），

则 ，

解得 ，

所以，y= x+ ，

联立 ，

解得 ， （为点A坐标，舍去），

所以，点Q的坐标为（ ， ）．

【解析】（1）根据同角的余角相等求出∠A=∠CPD，然后求出△ABP和△PCD相似，再根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得证；（2）与（1）的证明思路相同；（3）利用待定系数法求出二次函数解析式，根据抛物线解析式求出点P的坐标，再过点P作PC⊥x轴于C，设AQ与y轴相交于D，然后求出PC、AC的长，再根据（2）的结论求出OD的长，从而得到点D的坐标，利用待定系数法求出直线AD的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点Q的坐标．