Question

【题目】 ⑴如图，在正方形中，点分别在上，于点，求证；

⑵如图，将⑴中的正方形改为矩形，于点，探究与的数量关系，并证明你的结论.

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）AB=BC，见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据正方形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得∠AMB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得∠ABM与∠BAM的关系，根据同角的余角相等，可得∠BAM与∠CBF的关系，根据ASA，可得△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质，可得答案；

（2）根据矩形的性质得到∠ABC=∠C，由余角的性质得到∠BAM=∠CBF，根据相似三角形的性质即可得到结论．

试题解析（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠C，AB=BC．

∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，

∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF．

在△ABE和△BCF中，，

∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF；

（2）解：AB=BC，

理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠C，

∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，

∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF，∴△ABE∽△BCF，

∴，∴AB=BC．