Question

【题目】如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=6,D为BC的中点.

(1)若E,F分别是AB,AC上的点,且AE=CF,求证:△AED≌△CFD;

(2)当点F,E分别从C,A两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度沿CA,AB运动,到点A,B时停止;设△DEF的面积为y,F点运动的时间为x,求y与x的函数关系式;

(3)在(2)的条件下,点F,E分别沿CA,AB的延长线继续运动,求此时y与x的函数关系式.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）y=x2-3x+9.

【解析】试题分析：（1）利用等腰直角三角形的性质得到∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，进而得到AD=BD=DC，再利用SAS可判定△AED≌△CFD； （2）利用S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC="9" 即可得到y与x之间的函数关系式；（3）依题意有：AF=BE=x-6，AD=DB，∠ABD=∠DAC=45°得到∠DAF=∠DBE=135°，从而得到△ADF≌△BDE，利用全等三角形面积相等得到S△ADF=S△BDE从而得到S△EDF=S△EAF+S△ADB即可确定两个变量之间的函数关系式．

试题解析：（1）证明：∵∠BAC="90°" AB=AC=6，D为BC中点

∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°

∴AD=BD=DC

∵AE=CF∴△AED≌△CFD

（2）解：依题意有：FC=AE=x，

∵△AED≌△CFD

∴S四边AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=9

S△EDF=S四边AEDF-S△AEF=9- =；

∴

（3）解：依题意有：AF=BE=x﹣6，AD=DB，∠ABD=∠DAC=45°

∴∠DAF=∠DBE=135°

∴△ADF≌△BDE

∴S△ADF=S△BDE

∴S△EDF=S△EAF+S△ADB

= +9=；

∴．