Question

【题目】如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E．

（1）求证：∠1=∠CAD；
（2）若AE=EC=2，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠ADO+∠BDO=90°，

∵AC为⊙O的切线，

∴OA⊥AC，

∴∠OAD+∠CAD=90°，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∵∠1=∠BDO，

∴∠1=∠CAD；

（2）

解：∵∠1=∠CAD，∠C=∠C，

∴△CAD∽△CDE，

∴CD：CA=CE：CD，

∴CD2=CACE，

∵AE=EC=2，

∴AC=AE+EC=4，

∴CD=2 ，

设⊙O的半径为x，则OA=OD=x，

则Rt△AOC中，OA2+AC2=OC2，

∴x2+42=（2 +x）2，

解得：x= ．

∴⊙O的半径为

【解析】（1）由AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，易证得∠CAD=∠BDO，继而证得结论；（2）由（1）易证得△CAD∽△CDE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得CD的长，再利用勾股定理，求得答案．此题考查了切线的性质、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质．注意证得△CAD∽△CDE是解此题的关键．
【考点精析】认真审题，首先需要了解圆周角定理(顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)，还要掌握切线的性质定理(切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径)的相关知识才是答题的关键．