Question

【题目】已知：△DEC的一个顶点D在△ABC内部，且∠CAD+∠CBD=90°．

（1）如图1，若△ABC与△DEC均为等腰直角三角形，且∠ABC=∠DEC=90°，连接BE，求证：△ADC∽△BEC．

（2）如图2，若∠ABC=∠DEC=90°，=n，BD=1，AD=2，CD=3，求n的值；

（3）如图3，若AB=BC，DE=EC，且∠ABC=∠DEC=135°，BD=a，AD=b，CD=c，请直接写出a、b、c三者满足的等量关系．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）n= ；（3）c2﹣b2=（2+）a2，理由见解析.

【解析】试题分析：（1）先判断出△ABC∽△DEC，得出，即可得出结论；

（2）先求出AC=BC，同理：CD=EC，再判断出△ABC∽△DEC，得出比例式，继而判断出△ACD∽△BCE，即可得出AD=BE，BE=，再利用勾股定理得出DE2=再判断出∠DBE=90°，再用勾股定理得出DE的平方，用DE的平方建立方程求解即可；

（3）同（2）的方法，再构造直角三角形，利用勾股定理即可得出结论．

试题解析：（1）∵△ABC与△DEC均为等腰直角三角形，且∠ABC=∠DEC=90°，

∴△ABC∽△DEC，

∴，∠ACB=∠DCE，

∴∠ACD=∠BCE，

∵，

∴△ACD∽△BCE；

（2）在Rt△ABC中，AC= =BC，

同理：CD=EC，

∵∠ABC=∠DEC=90°，

∵，

∴

∴△ABC∽△DEC，

∴，∠ACB=∠DCE，

∴∠ACD=∠BCE，

∵，

∴△ACD∽△BCE，

∴= ，

∴AD=BE，

∵AD=2，

∴BE=，

在Rt△CDE中，CD2=DE2+CE2=（n2+1）CE2=9，

∴CE2=

∴DE2=n2CE2=n2×=，

∵△ACD∽△BCE，

∴∠CAD=∠CBE，∵∠CAD+∠CBD=90°，

∴∠DBE=∠CBE+∠CBE=90°，

在Rt△BDE中，DE2=BD2+BE2=1+，

∴=1+，

∴n=﹣ （舍）或n= ；

（3）c2﹣b2=（2+）a2，

理由：如图，∵AB=BC，DE=EC，

∴，

∵∠ABC=∠DEC，

∴△ABC∽△DEC，

∴，

∵AB=BC，DE=EC，且∠ABC=∠DEC=135°，

∴∠ACB=∠DCE=22.5°，

∴∠ACD=∠BCE，

∵ ，

∴△ACD∽△BCE，

∴ ，

∴ ，

过点D作DF⊥CE交CE的延长线于F，

∵∠DEC=135°，

∴∠DEF=45°，

设DF=x，

∴EF=x，DE=x，

∵EC=DE=x，

∴CF=EF+EC=（+1）x，

在Rt△CDF中，CF2+DF2=CD2，

∴[（+1）x]2+x2=c2，

∴x2=，

∴DE2=2x2=，

∴BE2==×=，

∵△ACD∽△BCE，

∴∠CAD=∠CBE，

∵∠CAD+∠CBD=90°，

∴∠DBE=∠CBE+∠CBE=90°，

在Rt△BDE中，DE2=BD2+BE2，

∴=a2+，

∴c2﹣b2=（2+）a2．