【题目】如图1，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），连接AP，过点B作BQ⊥AP交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC'，延长QC′交BA的延长线于点M．

（1）试探究AP与BQ的数量关系，并证明你的结论；

（2）求证：MQ＝MB；

（3）若AB＝3，BP＝2PC，求QM的长．

【答案】（1）AP=BQ，证明详见解析；（2）详见解析；（3）QM的长为．

【解析】

（1）要证AP＝BQ，只需证△PBA≌△QCB即可．

（2）易得DC∥AB，从而有∠CQB＝∠QBA．由折叠可得∠C′QB＝∠CQB，即可得到∠QBA＝∠C′QB，即可得到MQ＝MB．

（3）过点Q作QH⊥AB于H，如图．易得QH＝BC＝AB＝3，BP＝2，PC＝1，然后运用勾股定理可求得AP（即BQ）＝，BH＝2．设QM＝x，则有MB＝x，MH＝x﹣2．在Rt△MHQ中运用勾股定理就可解决问题．

（1）解：结论：AP＝BQ．

理由：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90，

∴∠ABQ+∠CBQ＝90．

∵BQ⊥AP，

∴∠PAB+∠QBA＝90，

∴∠PAB＝∠CBQ．

在△PBA和△QCB中，

，

∴△PBA≌△QCB，

∴AP＝BQ．

（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴DC∥AB，

∴∠CQB＝∠QBA．

由折叠可得∠C′QB＝∠CQB，

∴∠QBA＝∠C′QB，

∴MQ＝MB．

（3）解：过点Q作QH⊥AB于H，如图．

∵四边形ABCD是正方形，

∴QH＝BC＝AB＝3．

∵BP＝2PC，

∴BP＝2，PC＝1，

∴BQ＝AP＝＝＝，

∴BH＝＝＝2．

∵四边形ABCD是正方形，

∴DC∥AB，

∴∠CQB＝∠QBA，

由折叠可得∠C′QB＝∠CQB，

∴∠QBA＝∠C′QB，

∴MQ＝MB．

设QM＝x，则有MB＝x，MH＝x﹣2．

在Rt△MHQ中，

根据勾股定理可得x2＝（x﹣2）2+32，

解得x＝．

∴QM的长为．

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