Question

【题目】如图，△ABC中，∠C=90°、AD是角平分线，E为AC边上的点，DE=DB，下列结论：①∠DEA＋∠B=180°；② ∠CDE=∠CAB；③ AC= (AB＋AE)；④ S△ADC=S四边形ABDE，其中正确的结论个数为( )

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

Answer 1

【答案】A

【解析】在AB上截取AF＝AE，交AB于点F，如图所示：

∵AD是∠CAB的角平分线，

∴∠EAD＝∠FAD,

在△AED和△AFD中，

，

∴△AED≌△AFD（SAS），

∴∠DEA＝∠DFA，DF＝DE，

又∵DE=DB，

∴DF＝DB，

∴∠DFB＝∠B，

又∵∠DFA+∠DFB＝180o，∠DEA＝∠DFA，

∴∠DEA＋∠B=180°(等量代换),

又∵∠CED+∠AED＝180o,

∴∠CED=∠B,

又∵∠C+∠CED+∠CDE＝180o，∠C+∠CAB+∠B＝180o，

∴∠CDE＝∠CAB，

过点D作DGAB于点G，如图所示：

∵DG＝DB（已证），

∴DG是BF的垂直平分线，

∴FG＝BG，

∵AD是是∠CAB的角平分线，∠C=90°，DGAB，

∴DC＝DG，

在△ADC和△AGD中

，

∴△ADC≌△AGD（AAS），

∴AC＝AG，

又∵AC＝AE+CE，AG＝AF+FG，

∴AE+CE＝AF+FG，

又∵AE＝AF，

∴CE＝FG，

又∵FG＝BG，

∴CE＝BG，

∴AC＝AE+BG，

又∵AB+AE＝AG+BG+AE，AG＝AC，

∴AB+AE＝AC+AC＝2AC，即AC= (AB＋AE)，

∵S四边形ABDE＝S△ABD+S△AED＝，

∴S四边形ABDE ，

又∵S△ADC＝，

∴S△ADC=S四边形ABDE.

故①②③④都正确，共计4个正确.

故选A.