Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x﹣4与坐标轴相交于A、B、C三点，P是线段AB上一动点（端点除外），过P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP．

（1）直接写出A、B、C的坐标；

（2）求抛物线y=﹣x﹣4的对称轴和顶点坐标；

（3）求△PCD面积的最大值，并判断当△PCD的面积取最大值时，以PA、PD为邻边的平行四边形是否为菱形．

Answer 1

【答案】（1）A（4，0）、B（﹣2，0）、C（0，﹣4）．（2）（1，﹣）（3）不是菱形

【解析】试题分析：（1）设y=0，解一元二次方程即可求出A和B的坐标，设x=0，则可求出C的坐标．

（2）抛物线：y=x2-x-4=（x-1）2-，所以抛物线的对称轴是直线x=1，顶点坐标是（1，-）．

（3）设P（x，0）（-2＜x＜4），由PD∥AC，可得到关于PD的比例式，由此得到PD和x的关系，再求出C到PD的距离（即P到AC的距离），利用三角形的面积公式可得到S和x的函数关系，利用函数的性质即可求出三角形面积的最大值，进而得到x的值，所以PD可求，而PA≠PD，所以PA、PD为邻边的平行四边形不是菱形．

试题解析：（1）A（4，0）、B（-2，0）、C（0，-4）．

（2）抛物线：y=x2-x-4=（x-1）2-，

∴抛物线的对称轴是直线x=1，顶点坐标是（1，-）．

（3）设P（x，0）（-2＜x＜4），

∵PD∥AC，

∴，

解得：PD=（x+2），

∵C到PD的距离（即P到AC的距离）：d=PA×sin450=（4-x），

∴△PCD的面积S=×PD×d=（x+2）（4-x）="-"x2+x+，

∴S=-（x-1）2+3，

∴△PCD面积的最大值为3，

当△PCD的面积取最大值时，x=1，PA=4-x=3，PD=（x+2）=2，

因为PA≠PD，所以以PA、PD为邻边的平行四边形不是菱形．