Question

【题目】观察下列等式的规律，解答下列问题：

a1=，a2=（），a3=（），a4=（），……．

（1）第5个等式为　 　；第n个等式为　 　（用含n的代数式表示，n为正整数）；

（2）设S1=a1﹣a2，S2=a3﹣a4，S3=a5﹣a6，……，S1008=a2015﹣a2016．求S1+S2+S3+……+S1008的值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】

（1）观察得出第n个等式为an=（+），根据实际代入求值即可；

（2）由（1）可知an=，

∴S1=a1﹣a2=1﹣，

S2=a3﹣a4=﹣，

S3=a5﹣a6=﹣，

………

S1008=a2015﹣a2016=﹣，

∴S1+S2+S3+…+S1008，

=（1﹣）+（）+（﹣）+…+（），

=1﹣.

（1）由题意得：a5=；

∴an=（+）=；

故答案为： +，；

（2）由（1）可知an=，

∴S1=a1﹣a2=（1+）﹣（+）=1﹣，

S2=a3﹣a4=（+）﹣（+）=﹣，

S3=a5﹣a6=（+）﹣（+）=﹣，

………

S1008=a2015﹣a2016=（+）﹣（+）

=﹣，

∴S1+S2+S3+…+S1008，

=（1﹣）+（）+（﹣）+…+（），

=1﹣，

=．