Question

【题目】如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧，直线y=﹣x﹣1与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2．

（1）求二次函数的解析式；

（2）P是线段AC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3．（2）当m=时，PE取最大值，最大值为．

【解析】分析: （1）根据点C在x轴上求得点A的坐标，再根据点C的横坐标为2求出点C的纵坐标，把A（-1，0），B（3，0）代入二次函数的解析式，利用待定系数法即可求得函数的解析式；

（2）设点P的坐标为（m，-m-1）（-1≤m≤2），则点E的坐标为（m，m2-2m-3），进而可得出PE=-m2+m+2=-（m- ）2+ ，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．

详解:

（1）当y=0时，有﹣x﹣1=0，

解得：x=﹣1，

∴点A的坐标为（﹣1，0）；

当x=2时，y=﹣x﹣1=﹣3，

∴点C的坐标为（2，﹣3）．

将A（﹣1，0）、C（2，﹣3）代入y=x2+bx+c，得：，

解得：，

∴二次函数的解析式为y=x2﹣2x﹣3．

（2）设点P的坐标为（m，﹣m﹣1）（﹣1≤m≤2），则点E的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），

∴PE=﹣m﹣1﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+m+2=﹣（m﹣）2+．

∵﹣1＜0，

∴当m=时，PE取最大值，最大值为．

点睛: 本题考查了抛物线与x轴的交点、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值以及待定系数法求二次函数解析式；解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征求出点A、C的坐标；（2）用含m的代数式表示出PE的值．