Question

【题目】如图：已知ABCD中，以AB为斜边在ABCD内作等腰直角△ABE，且AE=AD，连接DE，过E作EF⊥DE交AB于F交DC于G，且∠AEF=15°

（1）若EF=，求AB的长．

（2）求证：2GE+EF=AB．

Answer 1

【答案】（1）AB=3；（2）见解析

【解析】

试题分析：（1）作EH⊥AB，交AB于H，根据等腰直角三角形的性质得到∠EAB=∠EBA=45°，EA=EB，于是得到EH=HB=AH=AB，于是得到∠EFH=∠EAB+∠AEF=60°，求得∠FEH=30°，根据直角三角形的性质即可得到结论；

（2）连接EC，根据三角形的内角和得到∠DEA=∠EDA=75°，于是得到∠EAD=30°，求出∠DAB=∠DCB=75°，∠CBA=∠CDA=105°，由于∠ABE=45°，得到∠CBE=60°，推出△BCE是等边三角形，求出∠DCE=15°，CE=BE=AE，推出DG=2GE，证得△AEF≌△ECG，根据全等三角形的性质得到GC=FE，即可得到结论．

解：（1）作EH⊥AB，交AB于H，

∵△ABE是等腰直角三角形，

∴∠EAB=∠EBA=45°，EA=EB，

∴EH=HB=AH=AB，

∴∠EFH=∠EAB+∠AEF=60°，

∴∠FEH=30°，

∴FH=EF=EH=，

∴AB=3，

（2）连接EC，

∵∠AEF=15°，EF⊥DE，AE=AD，

∴∠DEA=∠EDA=75°，

∴∠EAD=30°，

∵∠BAE=45°，

∴∠DAB=∠DCB=75°，∠CBA=∠CDA=105°，

∵∠ABE=45°，

∴∠CBE=60°，

∵AD=BE=BC，

∴△BCE是等边三角形，

∴∠DCE=15°，CE=BE=AE，

∵∠GED=90°，∠GDC=30°，∠DGE=60°，

∴DG=2GE，

∵∠EGC=105°=∠AFE，CE=EF，∠DCE=15°=∠AEF，

在△AEF与△ECG中，，

∴△AEF≌△ECG，

∴GC=FE，

∴AB=DC=DG+GC=2GE+CG=2GE+EF．