【题目】（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于A、B两点，动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为t（秒）．

（1）直接写出A、B两点的坐标．

（2）当△APQ与△AOB相似时，求t的值．

（3）设△APQ的面积为S（平方单位），求S与t之间的函数关系式．

参考答案：

【答案】（1）A（0，3），B（4，0）；（2）或；（3）．

【解析】试题分析：（1）解方程可求得OA、OB的长，容易求得A、B两点的坐标；

（2）由勾股定理可求得AB，用t可表示出AP、QB、AQ的长，分△APQ∽△AOB和△APQ∽△ABO两种情况，可分别求得t的值；

（3）过Q作QH⊥OA于H，得到△AQH∽△ABO，进而得到QH，在利用三角形面积公式即可得到结论．

试题解析：（1）点A的坐标为（0，3）；点B的坐标为（4，0）．

（2）在Rt△AOB中，OA=3，OB=4，∴AB=5．

∴AP=t，QB=2t，AQ=5-2t．

△APQ与△AOB相似，可能有两种情况：

①若△APQ∽△AOB，则有，即， 解得．

②若△APQ∽△ABO，则有，即， 解得．

故t=或

（3）过Q作QH⊥OA于H，则△AQH∽△ABO，∴AQ：AB=HQ：OB，∴（5-2t）：5=QH：4，∴QH=，∴S=APHQ，∴ ．

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