Question

【题目】小明同学在做作业时，遇到如下问题：如图1，已知：等边△ABC，点D在BC上，以AD为边作等边△ADE，连接CE，求证：∠ACE=60°.

（1）请你解答小明的这道题；
（2）在这个问题中，当D在BC上运动时，点E是否在一条线段上运动？
（直接答“是”或“不是”）
（3）如图2，正方形ABCD的边长为2，E是直线BC上的一个动点，以DE为边作正方形DEFG（DEFG按逆时针排列）。当E在直线BC上运动时，点G是否在一条直线上运动？如果是，请你画出这条直线并证明；如果不是，也请说明理由；
（4）连接AG、CG，①求证：AG2-CE2是定值； ②求AG+CG的最小值（直接写出答案即可）。

Answer 1

【答案】
（1）

解：证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∠B=60°，

∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD△ACE，

∴∠ACE=∠B=60°.

（2）

解：是；∵∠ACE=60°，∠ACB=60°，∴∠BCE=120°，

∴E在以CB为一条边的120°角的另一边上，

当点D与B重合，E与C重合；

当点D与C重合时，CE的长最长=AC；

故点E在一条线段上运动。

（3）

解：是。证明：过G作GH⊥CD于H，∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，

∴∠DCE=90°，∠EDG=90°，DE=DG，

∴∠EDC+∠GDC=90°，∠EDC+∠CED=90°，

∴∠GDC=∠CED，又∵DE=DG，∠DCE=∠GHD=90度，

∴△CDE△HGD，∴GH=CD=2.

又∵GH⊥CD，∴点G是在与CD的距离为2的直线上，过G作直线//CD，即点G在直线l上运动。

（4）

解：①延长AD交直线l于P，由（1）可得△CDE△HGD，

∴CE=DH。

∵l//CD，GH⊥CD，∴∠DHG=∠PGH=90°，

又∵∠PDH=90°，∴四边形DHGP是矩形，

∴PG=DH=CE，PD=GH=2，

在Rt△AGP中，AG2-PG2=AP2=42=16，

∴AG2-CE2=AG2-PG2=16是定值。

②过A作关于l的对称点A′，连接A′C，交直线l于G′，则AG+CG≥A′G′+CG′=A′C，

在Rt△A′CD中，CD=2,A′D=6,∴A′C = 。

【解析】（1）由△ABC和△ADE是等边三角形，可得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∠B=60°，则∠BAD=∠CAE，由“SAD”证得△ABD△ACE，即可证得∠ACE=∠B=60°；（2）在D的运动过程中∠BCE=∠ACE=+∠ACB=120°不变，CE边所在射线不变，且CE的最长=AC；（3）与前面同理，构造全等三角形，过G作GH⊥CD于H，证明△CDE△HGD，即GH=CD=2且GH⊥CD，则G在一条直线与CD平行，且距离为2；（4）①在（1）的结论下，延长AP交直线l于点P，则可得PG=DH=CE，则AG2-CE2=AG2-PG2是定值；②作A点关于直线l的对称点A’，连接A’C即为最短路径，再由勾股定理解出长度。
【考点精析】解答此题的关键在于理解等边三角形的性质的相关知识，掌握等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°，以及对勾股定理的概念的理解，了解直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．