Question

【题目】已知双曲线y= （x＞0），直线l1：y﹣ =k（x﹣ ）（k＜0）过定点F且与双曲线交于A，B两点，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）（x1＜x2），直线l2：y=﹣x+ ．

（1）若k=﹣1，求△OAB的面积S；
（2）若AB= ，求k的值；
（3）设N（0，2 ），P在双曲线上，M在直线l2上且PM∥x轴，问在第二象限内是否存在一点Q，使得四边形QMPN是周长最小的平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：当k=﹣1时，l1：y=﹣x+2 ，

联立得， ，化简得x2﹣2 x+1=0，

解得：x1= ﹣1，x2= +1，

设直线l1与y轴交于点C，则C（0，2 ）．

S△OAB=S△AOC﹣S△BOC= 2 （x2﹣x1）=2

（2）

解：根据题意得： 整理得：kx2+ （1﹣k）x﹣1=0（k＜0），

∵△=[ （1﹣k）]2﹣4×k×（﹣1）=2（1+k2）＞0，

∴x1、x2 是方程的两根，

∴ ①，

∴AB= = ，

= ，

= ，

将①代入得，AB= = （k＜0），

∴ = ，

整理得：2k2+5k+2=0，

解得：k=﹣2，或 k=﹣

（3）

解：∵y﹣ =k（x﹣ ）（k＜0）过定点F，

∴x= ，y= ，

∴F（ ， ），

设P（x， ），则M（﹣ + ， ），

则PM=x+ ﹣ = = ，

∵PF= = ，

∴PM=PF．

∴PM+PN=PF+PN≥NF=2，

当点P在NF上时等号成立，此时NF的方程为y=﹣x+2 ，

由（1）知P（ ﹣1， +1），

∴当P（ ﹣1， +1）时，PM+PN最小，此时四边形QMPN是周长最小的平行四边形，

∴Q（﹣ ，2 ）

【解析】（1）求出A、B点的横坐标，根据S△OAB=S△AOC﹣S△BOC计算即可．（2）利用方程组以及根与系数的关系，求出AB，根据AB= ，列出方程即可解决问题．（3）首先证明PM=PF．推出PM+PN=PF+PN≥NF=2推出当点P在NF上时等号成立，此时NF的方程为y=﹣x+2 ，由（1）知P（ ﹣1， +1），由此即可解决问题．
【考点精析】解答此题的关键在于理解反比例函数的性质的相关知识，掌握性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小； 当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大．