Question

【题目】如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为点G，连接CG，下列说法：①AG＞GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为π；④CG的最小值 ﹣1．其中正确的说法有（ ）个．

A.4
B.3
C.2
D.1

Answer 1

【答案】C
【解析】解答】∵四边形ABCD为正方形，BF⊥AE，

∴∠AGB=90°，
∴G点在以AB为直径，AB中点O为圆心的圆弧上，
∴当点E移动到与C重合时，F点与D点重合，此时G为AC中点，
∴AG=GE，
故①错误.
∵当点E运动到C点时停止，
∴点G运动的轨迹为圆，
又∵正方形ABCD的边长为2，
∴圆弧的长为：×2××1=.
故③错误.
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCF=90°，
又∵BF⊥AE，
∴∠AGB=90°，
即∠ABG+∠GBE=90°，
∴∠BAG+∠ABG=90°，
∴∠GBE=∠BAG，
在△ABE和△BCF中，
∵，
∴△ABE≌△BCF，
∴AE=BF，
故②正确.
当O、G、C三点共线时，CG取得最小，
∵OB=1，BC=2，
∴OC==，
∴CG=OC-OG=-1，
故④正确.
所以答案是：C.
①由题意得∠AGB=90°，G点在以AB为直径，AB中点O为圆心的圆弧上；故当E移动到与C重合时，F点与D点重合，此时G为AC中点，故①错误.
②由正方形的性质得出，AB=BC，∠ABC=∠BCF=90°，再由同角的余角相等得出∠GBE=∠BAG，再利用ASA得出△ABE≌△BCF，根据全等三角形性质得出AE=BF，故②正确.
②当点E运动到C点时停止，此时点G运动的轨迹为圆，从而得出②错误.
④当O、G、C三点共线时，CG取得最小，根据勾股定理得出OC的长度，再由CG=OC-OG得出④正确.
【考点精析】通过灵活运用勾股定理的概念和正方形的性质，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形即可以解答此题．