Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，AO是△ABC的角平分线。以O为圆心，OC为半径作⊙O。

（1）（3分）求证：AB是⊙O的切线。

（2）（3分）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D， tanD＝，求的值。

（3）（4分）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长。

Answer 1

【答案】(1)详见解析；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）过O作OF⊥AB于F，由角平分线上的点到角两边的距离相等即可得证；（2）连接CE，证明△ACE∽△ADC可得 = tanD＝；（3）先由勾股定理求得AE的长，再证明△B0F∽△BAC，得，设BO=y ，BF=z，列二元一次方程组即可解决问题.

试题解析：⑴证明：作OF⊥AB于F

∵AO是∠BAC的角平分线，∠ACB=90

∴OC=OF （2分）

∴AB是⊙O的切线 （3分）

⑵连接CE （1分）

∵AO是∠BAC的角平分线，

∴∠CAE=∠CAD

∵∠ACE所对的弧与∠CDE所对的弧是同弧

∴∠ACE=∠CDE

∴△ACE∽△ADC

∴ = tanD＝

⑶先在△ACO中，设AE=x,

由勾股定理得

(x＋3)=(2x) ＋3 ，解得x=2,

∵∠BFO=90°=∠ACO

易证Rt△B0F∽Rt△BAC

得，

设BO=y BF=z

即4z=9＋3y，4y=12＋3z

解得z= y=

∴AB=＋4=