Question

【题目】如图，已知在正方形中，点分别在上，△是等边三角形，连接交于，给出下列结论：

①； ② ;

③垂直平分; ④．

其中结论正确的共有( )．

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

Answer 1

【答案】C

【解析】试题解析：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∴①说法正确；
∵BC=DC，
∴BC-BE=CD-DF，
∴CE=CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CFE=45°，
∴∠AFD=75°，
∴∠DAF=15°，
∴②正确；
∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠BCA=45°，
∴AC⊥EF，
又CE=CF，
∴AC垂直平分EF，
∴③正确；
在AD上取一点G，连接FG，使AG=GF，

则∠DAF=∠GFA=15°，
∴∠DGF=2∠DAF=30°，
设DF=1，则AG=GF=2，DG= ，
∴AD=CD=，CF=CE=CD-DF= ，
∴，而BE+DF=2，
∴④说法错误；

综上所述，正确的个数有3个.故本题应选C.